Cálculo infinitesimal

Al estudiar Cálculo estás incursionando en las matemáticas del movimiento, de la variación y el cambio.

El calculo infinitesimal - descubierto a finales del siglo XVII por Isac Newton  y Gottfried Wilhem von Leibinz - es la rama de las matemáticas que trata de los conceptos fundamentales de limite y variación.

casi desde sus comienzos tuvo un profundo efecto en en pensamiento científico, matemático y racional, debido parcialmente a la potencia, elegancia y versatilidad de sus técnicas y también a su asociación con la física newtoniana.

El calculo sigue siendo una de las ramas mas importantes de la matemática para el científico y el ingeniero, y cada vez mas para el economista y el estadista.

El calculo infinitesimal se divide en dos partes: Calculo diferencial, que trata de tasas de variación y el calculo integral, que se ocupa de sumar las cantidades que varían.

Velocidad instantánea

Es el limite de las velocidades medias sobre intervalso de tiempo cada vez mas cortos que contengan el instante en cuestion. El calculo nos proporciona tecnicas que nos permiten determinar la velociaddad instantanea a partir de alguna formula.

siempre que se conozca la relación entre cantidades implicadas, las tecnicas del calculo diferencial se pueden usar para determinar la tasa de variacion que se conoce como dericada de una cantidad con respecto de la otra. Si la relacion entre cantidades x y y viene dada por una formula y = f(x). entonces la derivada nos indica con una formula que se suele simbolizar como f'(x), en la notacion de lebinz se escribe como dy/dx. La formula nos dice a que ritmo varia y con respecto a x en cualquier punto x. 

La derivada de Y = XN es NXn-1.

La distancia recorrida exacta se define como el límite de este procedimiento, y dicho límite se conoce con el nombre  de integral definida de la velocidad.

La integral de una cantidad  y=f(X) se suele indicar por ≡f(x)dx, donde el signo ≡ es una s  estilizada que significa suma.

La utilidad integral indefinida procede en gran parte del llamado teorema fundamental  del cálculo, según el cual esta operación y la otra operación fundamental para hallar la tasa de variación o derivada de una cantidad  respecto otra son operaciones inversas, nos proporcionan los útiles necesarios para comprender la cantidades que varían constantemente.

Los griegos imaginaron las curvas como trazos realizados por puntos en movimiento para analizar las líneas curvas paso a paso por medio de la técnica de dividirlas en segmentos infinitamente pequeños. Así lo hizo René Descartes  cuando pensó en los términos de una ecuación como funciones entre variables y sobre todo cuando facilito una posibilidad para representar figuras graficas de las situaciones y relaciones fluidas.

En 1666, Isaac Newton realizó un prodigiosa  creación mental denominada calculo, por primera vez permitió el análisis matemático de todo movimiento y cambio en este campo Newton combino la técnica de división en parte de los griegos  y el sistema grafico de Descartes para crear un maravilloso y automático instrumento mental con el fin de operar en una ecuación para llegar a los infinitésimos. El cálculo se ha convertido en el nexo principal entre la ciencia práctica y el conjunto de pensamientos matemáticos.

El cálculo analiza todas estas situaciones al invocar dos procesos matemáticos nuevos que son las primeras operaciones fundamentales que hay que añadir a las leyes de la adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. Estas nuevas operaciones son denominadas diferenciación e integración, siendo esta la inversa de aquella, casi en la misma forma que la sustracción es la inversa de la adición. La diferenciación es  una forma de calcular la tasa  de variación de una variable n una situación en relación a otra en cualquier punto de un proceso. El valor al que los matemáticos llaman límite es la respuesta que busca el resultado final de la diferenciación la tasa de variación en cualquier punto o momento. La integración opera al revés que la diferenciación; considera a una ecuación en términos de tas variable y la convierte en una ecuación en términos de las variables que hacen la variación.

La velocidad del coche es una tasa de variación de la distancia con respecto al tiempo. Al acelerar o disminuir la propia velocidad del coche cambia, y varia en una proporción que constituye la  tasa de variación . En la naturaleza, la gravedad actúa de forma tal que un objeto que cae se mueva en una tasa que aumenta en proporción constante. Newton definió esta proporción de una tasa como aceleración, y dio el nombre de fuerza a la gravedad  que la causaba.

El cambio relativo de una y o x hallada por la diferenciación se llama derivada; una derivada de y con respecto a x que se escribe  , o de x con respecto a y que se escribe . Lo opuesto a una derivada, hallada por medio de la integración se denomina integral, y se simboliza con el símbolo ∫. 

La suma aproximada se debe al suizo Leonhard  Euler quien propugno el uso de la sigma griega∑ en el cálculo para la suma de un número finito de rectángulos como la aproximación  al área limitada por una curva. En cuanto a la integral infinita Leibniz popularizo el símbolo ∫ para representar en  el cálculo la integral.

Cuando se utiliza abstractamente en una ecuación, una derivada puede concebirse más rápidamente en términos de la curva que representa esta ecuación en una grafica.

Existe una dificultad muy importante en el proceso de integración  este es el problema de las llamadas condiciones de los limites.

Para elaborar las reglas del cálculo, Newton visualizo lo que sucedería si un punto en la grafica de una curva se desplazara hacia un punto cercano. A medida que empieza el deslazamiento la pendiente medida de la curva entre los dos puntos es el número de unidades  de y que los separa verticalmente dividido por el número de unidades de x que lo separa horizontalmente.

Al hallar el valor a que tiende una fracción a medida que el numerador y el denominador tienden a cero se le denomina hacer el paso a límite. Si el numerador es igual a la mitad del denominador el límite es un medio

La ecuación  y=16t² expresada por Galileo Galilei  es una de las más utilizadas en la  física, debido a que muestra la forma en que actúa la gravedad en cualquier objeto que caiga libremente.

La técnica que empleo galileo, alrededor de 1585, para llegar a la ecuación de la caída libre fue calcular el tiempo que emplea un objeto en caer desde una altura determinada.

Al diferenciar dos veces la ecuación de Galileo Newton descubrió la naturaleza esencial de la gravedad. Al diferenciar la ecuación una vez hallo que la velocidad con que cae un saltador, en cualquier momento es igual 32 veces  el numero de segundos que tardo en caer. Al diferenciar por segunda vez hallo que la aceleración del saltador la relación de aumento en su velocidad es siempre 9.8 multiplicado por el número de segundos que tarda en caer.

Newton elaboro las operaciones básicas del cálculo: reglas de integración y diferenciación, que denomino leyes del cálculo diferencial. Desarrollo la ley de la gravitacion y la utilizo para explicar los movimientos de los planetas, luna y marea, construyo el primer telescopio de reflexión.

La principia de newton se reconoce generalmente como la obra científica más influyente, conclusiva y revolucionaria que jamás apareciera impresa.

El matemático alemán Gottfried   Wilhelm von Leibniz volvió crear  toda la maquinaria mental. Invento el cálculo diez años después de Newton en 1675 y en 1684 publico su versión. Fue Leibniz quien primero escribió las derivadas así   o   formas que sugieren las mediciones en forma de fracción de la tasa  de derivación en la que hacen referencia.

Newton y Leibniz se embrollaron en una disputa “patriotera” en torno a quien fue el descubridor del cálculo. Discusión que trascendió al ámbito científico europeo.